Анри Коше появился на свет в Лионе в 1901 году. Его отец трудился в местном теннисном клубе, благодаря чему юный Анри начал осваивать игру с восьми лет, тренируясь с друзьями, когда корты были свободны.
Первые победы на турнирах Анри начал одерживать в 1920 году, а уже на следующий год громко заявил о себе: будучи совершенно неизвестным в столице, он одержал победу на Открытом чемпионате Парижа в закрытых помещениях, тем самым начав свой путь к славе.
